Himpunan Penyelesaian Dari Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pertidaksamaan skor mutlak merupakan pertidaksamaan yang variabelnya berada dalam keunggulan mutlak. Cak semau banyak pendirian yang dapat kita buat cak bagi menyelesaikan berbagai macam bentuk pertidaksamaan skor mutlak diantaranya:

1. Menyelesaiakan pertidaksamaan nilai mutlak rang umum
2. Menyelesaiakan pertidaksamaan nilai mutlak dengan mengkuadratkan kedua ruas
3. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan grafik
4. Menyelesaikan pertidaksamaan angka mutlak dengan analisis $x$ (Definisi Nilai Mutlak)

Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa arketipe soal dan bermacam ragam cara memecahkan pertidaksamaan nilai mutlak nan akan di bahas pada tulisan ini.




Catatan: Jikalau detik mengekspos laman ini terjadi

“Math Processing Error”silakan reload laman. Tinggal disarankan membuka laman ini melewati PC/Laptop bakal meninggalkan equation yang terpotong, atau jikalau menggunakan mobile/android silakan bentang dengan mode
landscape
enggak
portrait.

cak bagi bentuk tertentu, pertidaksamaan nilai mutlak boleh diselesaiakan secara umum sebagai berikut:

1. Bentuk $\left |f(x)\right| \lt p$ dapat diubah ke gambar $-p\lt f(x)\lt p$
2. Bentuk $\left |f(x) \right|\gt p$ bisa diubah ke rang $f(x)\lt -p$ ataupun $f(x)\gt p$
3. Rencana $\left | f(x) \right |\gt\left |g(x)\right|$ dapat diubah ke bentuk $\left(f\left(x\right) +g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\gt 0$
4. Bentuk $\left | f(x) \right |\lt\left |g(x)\right|$ dapat diubah ke bentuk $\left(f\left(x\right) +g\left(x\right)\right)\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)\lt 0$
5. Bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\lt k$ boleh diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\lt 0$
6. Bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ dapat diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$

Perhatikan beberpa arketipe berikut:

Contoh 1:

Tentukan nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $\left |3x-1 \right|-2\lt 5$

Jawab:

Contoh 2:

Tentukan nilai $x$ yang menepati pertidaksamaan $|3x-2|\gt 4$

Jawab 2 :

Contoh 3:









Tentukan poin $x$ yang memenuhi $|2-x|\geq |2x-1|$







Jawab:









$|2-x|\geq|2x-1|$ memenuhi tulang beragangan $|f(x)|\geq|g(x)|$ maka bisa kita ubah menjadi $\left(f(x)+g(x)\right)\left(f(x)-g(x)\right)\geq 0$






$\begin{align*}\left(2-x+2x-1\right)\left(2-x-(2x-1)\right)&\geq 0\\ \left(x+1\right)\left(2-x-2x+1\right)&\geq 0\\(x+1)(-3x+3)&\geq 0 \space\text{kedua menjangan mana tahu  }(-1)\\(x+1)(3x-3)&\leq 0\\-1\leq x&\leq 1\end{align*}$

Contoh 4:








Tentukan nilai $x$  yang memenuhi pertidaksamaan $|2x-3|\leq|x+4|$







Jawab:









Pertidaksamaan $|2x-3|\leq|x+4|$ menetapi pertidaksamaan $|f(x)|\leq|g(x)|$, maka dapat kita ubah menjadi $(f(x)+g(x))(f(x)-g(x))\leq 0$






$\begin{align*}|2x-3|&\leq|x+4|\\(2x-3+x+4)(2x-3-(x+4))&\leq 0\\(3x+1)(2x-3-x-4)&\leq 0\\(3x+1)(x-7)&\leq 0\\-\frac{1}{3}\leq x&\leq 7\end{align*}$

Contoh 5:








Tentukan penyelesaian semenjak pertidaksamaan $\left|\frac{2x-1}{x+5}\right|\gt 3$







Jawab:









Pertidaksaman $\left|\frac{2x-1}{x+5}\right|\gt 3$ memenuhi bentuk $\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ maka dapat diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$

$\begin{align*}\left(2x-1+3(x+5)\right)\left(2x-1-3(x+5)\right)&\gt 0\\ \left(2x-1+3x+15\right)\left(2x-1-3x-15\right)&\gt 0\\(5x+14)(-x-16)&\gt 0\space\text{mana tahu dengan }(-1)\\(5x+14)(x+16)&\lt 0\\-16\lt x &\lt -\frac{14}{5}\end{align*}$

Contoh 6:

Tentukan perampungan berpokok pertidaksamaan $\left| 3+\frac{7}{x}\right|\gt 1$

Jawab:

$\begin{align*}\left|3+\frac{7}{x}\right|&\gt 1\\ \left|\frac{3x+7}{x}\right|&\gt 1\end{align*}$

Pertidaksamaan $\left| \frac{3x+7}{x}\right|\gt 1$ memenuhi bentuk$\frac{\left|f(x)\right|}{\left|g(x)\right|}\gt k$ dapat diubah menjadi $\left(f(x)+k.g(x)\right)\left(f(x)-k.g(x)\right)\gt 0$

$\begin{align*}\left|\frac{3x+7}{x}\right|&\gt 1\\(3x+7+x)(3x+7-x)&\gt 0\\(4x+7)(2x+7)&\gt 0\\x\lt -\frac{7}{2}\space\text{atau}\space x\gt -\frac{7}{4}\end{align*}$

2. Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak Dengan Mengkuadratkan Kedua Ruas

Mengatasi pertidaksamaan nillai mutlak dengan cara mengkuadratkan kedua ruas
hanya boleh dilakuakan jika kedua ruas bernilai positif. Perhatikan contoh-contoh berikut:

Contoh 7:
(tanya sebanding dengan arketipe 2)

Perampungan berbunga pertidaksamaan $|3x-2|\gt 4$ merupakan ….

Jawab:

Karena ruas kiri dan ruas kanan pertidaksamaan bernilai positif, maka dapat kita selesaikan dengan prinsip mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|3x-2|\right)^2&\gt 4^2\\9x^2-12x+4&\gt 16\\9x^2-12x-12&\gt 0\space \text{buat dengan 3}\\3x^2-4x-4&\gt 0\\(3x+2)(x-2)&\gt 0\\x\lt -\frac{2}{3}\space \text{atau}\space x&\gt 2\end{align*}$

Transendental 8:
(soal sejajar dengan paradigma 3)

Tentukan nilai $x$ yang menetapi $|2-x|\geq |2x-1|$

Jawab:

Karena kedua ruas bernilai positif, maka boleh kita selesaikan dengan cara mengkuadratkan kedua ruas.

$\begin{align*}\left(|2-x|\right)^2&\geq\left(|2x-1|\right)^2\\4-4x+x^2&\geq 4x^2-4x+1\\-3x^2+3&\geq 0\space\text{kedua ruas bagi }(-3)\\x^2-1&\leq 0\\()(x+1)(x-1)&\leq 0\\-1\leq x&\leq 1\end{align*}$

3. Menyelesaikan Pertidaksamaan Biji Mutlak dengan Tabel

Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan metode diagram mandu menggunakannya adalah dengan mengasumsikan pertidaksamaan ruas kiri dan ruas kanan bagaikan manfaat yang farik. Misal ruas kiri sebagai $y_1$ dan ruas kanan laksana $y_2$. Jika tanda pertidaksamaan $\gt$ alias $\geq$ maka jawabannya adalah himpunan $y_1$ yang terwalak
di atas
$y_2$. Begitu pula sebaliknya, jika logo pertidaksamaan $\lt$ ataupun $\leq$ maka penyelesiannya $y_1$ nan terdapat
di bawah
$y_2$.

Bagi kian jelasnya perhatikan contoh di bawah ini.

Contoh 9:

Penyelesaian mulai sejak pertidaksamaan $|x-2|\gt $3 adalah ….

Jawab:

misal $y_1=|x-2|$ dan $y_2=3$

Lebih jauh, kita bakal grafik kedua kemustajaban